Un cuerpo rígido que se mueve sobre un plano inclinado deformable
El movimiento de un cilindro o una esfera a lo largo de un plano inclinado no se produce para cualquier inclinación del plano, por pequeña que esta sea, sino que requiere un ángulo umbral.
 |
En la figura, se han dibujado las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que rueda sin deslizar. Las componentes del peso, la fuerza de rozamiento en la rodadura Fr, la reacción N |
La reacción N no se aplica en el punto de contacto entre la rueda y el plano, sino que pasa por delante del centro de masas a una distancia d del mismo. Su existencia se justifica como ya hemos visto en que el plano y la rueda se deforman ligeramente en la zona de contacto.
El valor del brazo d depende de diversos factores entre ellos la velocidad con que baja rodando el cuerpo, pero supondremos que es constante.
Como vemos en la figura, el momento de la reacción N=mgcosq ya no es nulo sino que se opone al momento de la fuerza Fr.
Las ecuaciones del movimiento son ahora las siguientes:
- Movimiento de traslación del c.m.
mg·senq -Fr=mac
- Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Fr·R-d·mgcosq =Ica
- La condición de que el cuerpo ruede sin deslizar es
ac=a ·R
Para un cilindro Ic=mR2/2
Que como vemos se convierten en las ecuaciones que describen el movimiento de un cilindro que rueda sin deslizar, cuando d=0.
El movimiento del cilindro no se inicia hasta un ángulo tal que ac³ 0 es decir hasta que el ángulo q >q0
Relaciones energéticas.
Al encontrarse el punto de contacto entre el cuerpo rígido y el plano inclinado instantáneamente en reposo sobre la superficie, la fuerza de rozamiento Fr es estática. El máximo valor que puede alcanzar es m s·N. Siendo N la reacción del plano inclinado N=mgcosq . Mientras Fr no supere el valor máximo m s· mgcosq , el movimiento del cuerpo será de rodar sin deslizar
La fuerza de rozamiento en la rodadura Fr no realiza trabajo neto. Pero ahora la reacción N si realiza un trabajo (momento por ángulo girado). –Nd·f =-(d·mgcos q )·x/R. Siendo x la longitud que recorre el cilindro a lo largo del plano inclinado.
De este modo, una parte de la energía potencial mgh se convierte en trabajo de la reacción N.
Si d=0 la energía potencial mgh se convierte en energía cinética de traslación del c.m. y en energía cinética de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
Ejemplo:
-
Sea un cilindro de radio R=20 cm
-
Supongamos que la reacción N del plano se aplica a una distancia d=1 cm del centro de masa.
El ángulo mínimo θ0 del plano inclinado para que el cilindro inicie el descenso es
tanθ0=1/20, θ0≈3º
-
Supongamos que el cilindro parte del reposo y recorre un plano de θ=3θº de inclinación y de x=3 m de longitud.
La aceleración del c.m. del cilindro es
La velocidad del c.m. en la base del plano inclinado es
x=ac·t2/2
vc=ac·t
Si x=3 m, vc=4.23 m/s
Aplicamos el balance energético
vc=4.23 m/s
Referencias
Hierrezuelo J., Carnero C.. Sliding and rolling: the physics of a rolling ball. Phys. Educ. 30 (1995), pp. 177- 182
López R., Gálvez F.J. Longitud de rodadura. Revista Española de Física 12 (1) 1998 págs 41-43.